두 눈을 크게 뜨고 왼쪽 그림을 살펴보자. 이 그림은 미국의 매사추세츠공대 뇌인지과학과 에드워드 아델슨 교수가 만든 착시도형이다. 여기에는 눈에 보이는 현실과 전혀 다른 대표적인 착시현상이 숨어 있다. 착시란 시각으로 나타나는 착각의 한 종류로 사물의 형태나 크기, 명암 등이 사실과 다른 모습으로 보는 것을 말한다.
믿을 수 없겠지만 A와 B가 적힌 체스판의 배경색은 같다. 하지만 대부분의 사람은 이를 알아차릴 수 없다. 왜냐하면 우리의 시각은 주변 환경과 뇌에 기억된 정보에 의해 종종 착각을 일으키기 때문이다. 사람들은 이 그림을 보고 체스판에 대한 기억을 떠올려 두 배경색의 자연스러운 배치를 원하고, B가 녹색 원기둥의 그림자 속에 놓여 있다는 사실을 고려해 B의 배경색이 A보다 밝다고 착각한다.
이러한 착시는 예술가들은 물론 수학자들에게도 신선한 연구 분야로 떠오르고 있다. 다음 간단한 문제를 함께 풀어보자.
이 중에는 올바른 도형의 일부를 변형해 만든, 실제로는 존재할 수 없는 ‘불가능한 도형’이 있다.
먼저 왼쪽 그림의 A, B, C는 올바른 도형이다. 그림처럼 올바른 도형의 반을 잘라, 나뉘어진 조각을 a+b', b+c', c+a'와 같이 이어 붙여 보자. 이처럼 서로 다른 종류의 올바른 도형 두 개를 이어 붙이면, 불가능한 도형이 완성되기도 한다. 즉, ②번은 A와 B가 만나 생긴 불가능한 도형이다.
시점이 다른 두 도형을 이용하는 방법도 있다. 오른쪽 그림의 A와 B는 같은 도형이다. 단지 보는 사람의 위치에 따라 시점을 달리해 그려놓은 것뿐이다. 이때 두 도형을 각각 반으로 잘라, 엇갈리게 연결하면 불가능한 도형이 완성된다. 즉, ③번 그림은 왼쪽에서 표현한 부분이 실제로는 만나지 않는 불가능한 도형이다. 따라서 정답은 ②, ③이다.
이처럼 수학자들은 기하학적인 입체도형의 성질을 이용해, 기하학적 착시를 만들었다. 영국의 수학자 로저 펜로즈가 대표적이다. 펜로즈는 펜로즈 삼각형을 비롯해 다양한 모습의 펜로즈 다각형을 개발했다.
펜로즈 삼각형은 왼쪽 그림처럼 세 내각이 60°를 이루고 있는 평면도형처럼 보이는 착시가 일어나지만, 사실 모두 90°로 만나고 있는 입체도형이다. 이 역시 실제로 존재할 수 없는 불가능한 도형이다.
‘수학동아’ 11월호에서는 착시가 숨겨진 다양한 예술 작품들과 그 원리 속에서 찾아볼 수 있는 수학 이야기를 풍성하게 담았다. 특별한 착시 미술관에 불시착한 앨리스와 함께 여행을 떠나 보자.
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