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타원, 쌍곡선 Ⅱ                           처음으로

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    타원·쌍곡선·포물선에 대한 여러 정리

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34. 타원,쌍곡선

ⅸ) 타원·쌍곡선·포물선에 대한 여러 정리

 ① 타원 또는 쌍곡선 상의 한 점 P에 있어서의 법선 PN은 를 2개의 초점에 이어서 이루어지는 각을 이등분한다.

 

pf)  ㉠ 타원 에 대해 P(x₁,y₁)에서의 접선의 방정식은 (기울기 ), 법선 의 x 절편= ,

∴ . 따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 은 ∠F'PF를 이등분한다.

∵) 는 F(c,0), F'(-c,0)으로 두고 , 이심률 으로 두고 제곱하여 정리하면 성립함을 알 수 있다.

㉡ 쌍곡선 에 대해 P(x₁,y₁)에서의 접선의 방정식은 , 접선의 기울기 ,  x 절편= . 법선 의 x절편= ,

∴

∴ . 따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 는 ∠F'PF를 이등분한다. 맞꼭지각으로 ∠F'PQ=∠TPR이고 ∠QPF=∠TPR이며 이므로 ∠FPN=∠NPR

 ② 포물선 상의 한 점 P에 있어서의 법선 PN은 P를 지나고 축에 평행한 직선과 P를 초점 F에 이어서 이루어지는 직선이 이루는 각을 이등분한다.

pf) 포물선 을 고려. 점 P에서의 접선의 방정식 에서 x절편은 -x₁. 이므로 은 이등변 삼각형이고 동위각으로부터

∴ 법선 PN은 ∠FPX를 이등분한다.

※ 타원에서 F에 광원을 두면 반사광선은 F'에 집중되므로 F, F'이 초점이며, 포물선에서 F에 광원을 두면 반사광선은 축에 평행이 된다.(예: 탐조등의 포물경)

 ③ 정의

  ㉠ 원추(원뿔)곡선: 원추를 그 꼭지점을 지나지 않는 평면으로 끊으면 평면의 위치에 의해  타원, 쌍곡선, 포물선 중의 어느 하나가 되므로 이들을 원추곡선이라고 하며 특히, 다음 식을 일반 이차곡선이라고 한다.

  ㉡ 현(弦): 이차곡선과 직선과의 두 교점을 이은 선분

  ㉢ 직경(直徑): 타원, 쌍곡선의 중심을 지나는 현 또는 포물선에서 주축에 평행인 직선(포물선 내부)

  ㉣ 극선: 임의의 점 P(x₁,y₁)에 대해 에서

을 곡선에 대한 점 P(x₁,y₁)의 극선이라 하며 이 때, 점 P를 극(極)이라 한다.

 ④ 원추곡선의 평행 현의 중점의 자취는 한 직경이다.

∵) 점 (x₁,y₁)를 지나고 방향코사인이 (λ,μ)인 직선의 방정식은 . 이차곡선과 직선과의 교점을 Q₁, Q₂, 그것에 대한 의 값을 라고 하면 연립하여 근과 계수와의 관계로부터 의 값을 구하고 또한, P가 Q₁, Q₂의 중점이고 이므로 로부터 관계식을 구한 후 방향계수 을 대입하고 임의의 좌표를 (x,y)로 고쳐 쓰면 자취는 직경이 된다.

  ㉠ 타원 :

  ㉡ 쌍곡선 :

  ㉢ 포물선 :

 ⑤ 위의 점 P(x₁,y₁)에서의 곡선의 접선:

pf) 접선을 이라 하자. 이라 하고 을 대입하면,

이므로

은 두 근이 존재하며 ρ=0이면 P에 대응되므로

∴ . 여기서 ρ는 곡선과 접선과의 교점에 대응되며 Q→P이면 ρ→0

∴ 접선 PT의 방향계수 m은 ρ=0일 때 에서 정해진다. 을 대입하면,

∴ 접선:

※ 위로부터 원, 타원, 쌍곡선, 포물선에서의 접선을 유도할 수 있으며 법선의 방정식도 비슷하게 구해진다.

 ⑥ 점 P(x₁,y₁)의 극선 L은 P에서 곡선에 그은 2개의 접선의 접점을 지나는 직선이다.

pf) 곡선과 L과의 교점을 , 에서의 곡선의 접선을 라 하면 A₁이 점 P의 곡선 위에 있으므로,

접선 의 방정식은

(*)로부터 접선 은 P(x₁,y₁)을 지남을 알 수 있다. 마찬가지로, 접선 는 P(x₁,y₁)를 지나므로 P는 2개의 접선의 교점이 된다. 따라서, L은 P에서 곡선에 그은 2개의 접선의 접점 를 잇는 직선이다.

 ⑦ 원추곡선의 초점의 극선은 그것에 대한 준선이다.

pf) ㉠ → 초점 에서의 극선은  ∴ : 준선

㉡ → 초점 에서의 극선은  ∴ : 준선

㉢ 초점 (p,0)에서의 극선:  ∴ x=-p: 준선

 ⑧ 에서

  ㉠ 이면 타원(원, 점타원, 허타원을 포함): 타원류의 곡선

  ㉡ 이면 쌍곡선 또는 상교 2직선: 쌍곡선류의 곡선

  ㉢ 이면 포물선 또는 평행 2직선: 포물선류의 곡선

 ⑨ 의 중심 ?

sol)  이 원점이 되도록 평행이동을 고려하자

를 대입하여 정리하면, 에서

신원점이 곡선의 중심이려면 . 이것이 중심 을 결정하는 식이다.

 ⑩ 이차곡선의 방정식의 표준화:

  ㉠

중심 을 구하여 원점을 에 옮겨 x, y의 1차 항을 없애고 를 만족하는 각 θ만큼 좌표축을 회전하여 xy의 항을 없애면 표준형으로 된다.

  ㉡

를 만족하는 각 θ만큼 좌표축을 회전하여 xy항을 없애면  또는 의 항이 없어지므로 그 남은 2차의 항을 완전제곱의 모양으로 고치고 평행이동에 의하여 옮기면 표준형으로 된다.

ex) 을 표준형으로 고치면?

sol)  으로 타원류. 을 풀면 중심 (1,1). (1,1)을 원점으로 옮기면 x=X+1, y=Y+1을 대입하여 정리하면 , 로 만큼 좌표축을 회전하면 즉, 을 대입하여 정리하면 . ∴

ex) 의 표준형?

sol)  로 쌍곡선류로 x+5y-6=0, 5x+y-6=0을 풀면 중심 (1,1), x=X+1, y=Y+1을 대입해 정리하면

를 대입하여 정리한 후 α, β를 x, y로 바꾸면 쌍곡선

ex) 의 표준형?

sol)  으로 포물선류. 를 대입하여 정리하면 . ∴ 포물선:

ex) 의 표준형?

sol)  으로 쌍곡선류. 을 풀면 중심 (1,0), x=X+1, y=Y를 대입하여 정리하면  ∴ 상교 2직선 (x+y)(x-2y)=0

 

출처 : 대현이 자격증공부노트

글쓴이 : 연습119 원글보기

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