[스크랩] 1,2차부등식

방정식과 부등식                            처음으로

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   13. 1,2차 부등식

        코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequallity),  베르누이 부등식(Bernoulli's Inequallity)  

        젠센의 부등식(Jensen's Inequallity), 휄더의 부등식(Hölder's Inequallity)

        민코프스키의 부등식(Minkowski's Inequallity)

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 13.  1차, 2차 부등식

ⅰ) 2차 부등식: 의 해법( 인 경우)

ⅱ) 고차 부등식: 인수분해하여 그래프를 그려서 확인

ⅲ) 분수 부등식: (분모)²을 양변에 곱하여 정 부등식으로 고쳐서 푼다.

ⅳ) 대소비교

 ① 뺄셈(0이 기준):

 ② 나눗셈(1이 기준): a,b>0일 때,

 ③ 제곱

 ④ 산술평균(AM)≥기하평균(GM)≥조화평균(HM)

  ㉠ a,b>0일 때, , (단, 등호는 a=b일 때 성립)

pf) 오른쪽 그림에서 반지름이 인 원을 고려하자.

반지름의 길이에서 , △APC는 직각삼각형이므로

∴ . 따라서 오른쪽 그림에서

 

ⅴ) 여러 가지 부등식

 ①코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequallity)

 

 

 ② 베르누이 부등식(Bernoulli's Inequallity)

    h>0이고 n≥2인 자연수 일 때, (1+h)ⁿ>1+nh

 ③ 젠센의 부등식(Jensen's Inequallity)

    f(x)가 (a,b)에서 아래로 볼록이고 일 때,

            

 ④ 젠센의 부등식을 이용한 증명(산술평균(AM)≥기하평균(GM))

  

  

  

  

 ⑤ 휄더의 부등식(Hölder's Inequallity)

 

특히, p=q=2로 두면 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

 ⑥ 민코프스키의 부등식(Minkowski's Inequallity)

 

출처 : 대현이 자격증공부노트

글쓴이 : 연습119 원글보기

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