수리논술 대비 3. 기하1

수리논술 대비

수학 읽기자료

세번째 마당. 기하

- 이 자료는 여러 선생님들이 쓴 글과 자료들을 이용해서 만든 것입니다. 그 분들께 감사드리며, 만약 그 분들께 누가 된다면 삭제하겠습니다.

1) 맨홀 뚜껑은 왜 둥글까? - 정폭도형에 대해 알아보기

맨홀 뚜껑은 왜 둥글까?

길을 지나가다 보면 흔히 보이는 맨홀 뚜껑은 항상 원 모양이다. 왜 맨홀 뚜껑은 동그랄까? 세모난 모양의 뚜껑이라면 더 개성적일 텐데. 궁금증을 가질 만하다. 답은 뚜껑이 구멍 속으로 빠지지 않게 하기 위해서다. 만약 맨홀 뚜껑이 삼각형이나 사각형으로 만들어져 있다면 뚜껑이 구멍 속으로 빠질 수 있다.

이 사실은 직접 종이판을 가지고 삼각형이나 사각형을 오려내 오려낸 구멍 속에 빠뜨려 보면 쉽게 확인할 수 있다. 만약 맨홀 뚜껑을 이렇게 만든다면 뚜껑이 자주 빠져 위험하기 짝이 없을 것이다.

맨홀 뚜껑이 원 모양으로 되어 있는 것은 원은 어느 방향으로 폭을 재어도 그 폭이 일정하기 때문이다. 폭이 일정한 도형을 정폭도형이라고 한다. 원에서는 지름이 폭이 된다. 폭이 일정하기 때문에 원 모양으로 구멍과 뚜껑을 만들면 이런 맨홀 뚜껑은 구멍으로 빠지지 않는다.

그러면 정폭도형은 원만 있는 것일까? 맨홀 뚜껑을 다른 모양으로 만들 수 없을까? 원을 제외하고도 정폭도형은 무수히 많이 있다. 따라서 다른 모양의 맨홀 뚜껑을 얼마든지 만들 수 있다. 삼각형 모양의 정폭도형, 오각형 모양의 정폭도형으로 맨홀 뚜껑을 바꿔보면 어떻겠는가?

삼각형 모양의 정폭도형을 그려보자.

오른쪽에는 삼각형 모양의 정폭도형 두 개가 그려져 있다. 두개는 닮은꼴의 정폭도형이다. 왼쪽의 것은 반지름이 같고 서로의 중심을 지나는 세 개의 원을 그려서 만든 것이다. 오른쪽의 것은 정삼각형을 그리고 한 꼭지점에서 다른 두 꼭지점을 지나는 호를 그린 것이다.

이렇게 하면 한 꼭지점에서 어느 방향으로도 폭이 같은 도형이 된다는 것을 알 수 있다.

다른 형태의 삼각형 모양의 정폭도형을 그릴 수도 있다. 다음과 같은 순서로 하면 그림과 같은 정폭도형이 된다.

① 세 점 ㄱ, ㄴ ㄷ을 잇는 세 직선을 긋는다.

② 선분 ㄱㄴ의 점 ㄱ쪽 연장선 위에 점 ㄹ을 잡아 점 ㄱ을 중심으로 호 ㄹㅁ을 그린다.

③ 점 ㄷ을 중심으로 호 ㅁㅂ을 그린다.

④ 점 ㄴ을 중심으로 호 ㅂㅅ을 그린다.

⑤ 마찬가지 방법으로 점 ㄱ을 중심으로 호 ㅅㅇ, 점 ㄷ을 중심으로 호 ㅇㅈ을 그린다. 그러면 점 ㄴ을 중심으로 호 ㅈㄹ을 그릴 수 있다.

⑥ 이렇게 그려진 ㄹ ㅁ ㅂ … ㅈ ㄹ을 이은 도형이 정폭도형이다.

정폭도형을 이용하면 사각형 구멍을 뚫을 수 있다!

삼각형을 세워서 회전시키면 원뿔이 생기고, 직사각형을 회전시키면 원기둥이 생긴다. 즉 모든 물건은 회전시키면 둥근 모양이 생긴다. 드릴은 이 원리를 이용한 것으로 드릴은 회전하면서 원 모양의 구멍을 뚫는다. 그러면 사각형 모양의 구멍을 뚫으려고 할 때는 어떻게 해야 할까?

영국의 공학자 와트(H.J.Watts)는 1914년 사각형 모양의 구멍을 뚫을 수 있는 드릴을 만들었다. 드릴의 단면이 그림과 같은 도형이고 드릴의 축이 전후좌우로 움직이는 것이면 이 드릴은 회전하면서 사각형 구멍을 뚫는다.

다음과 같은 장치를 만들어 둥근 삼각형이 회전할 때 지나가는 부분이 정사각형인지 확인하여 보자.

① 뚫으려고 하는 정사각형과 크기가 같은 틀을 만든다.

② 틀에 꼭 맞는 그림과 같은 둥근 삼각형 판을 만든다.

③ 둥근 삼각형 판 가운데에 손잡이를 붙인다.

④ 둥근 삼각형 판에 물감을 묻인 후 사각형 틀 안에서 움직이면 물감흔적이 사각형을 꽉 채운다.

같은 실험을 둥근 삼각형이 아니라 보통 삼각형으로 해보자. 물감이 묻은 부분이 정사각형인가? 이 실험에서 보통 삼각형에 날을 3개 붙여 만든 드릴로는 사각형 모양의 구멍을 뚫을 수 없지만, 둥근 삼각형에 날을 3개 붙여 드릴을 만들면 정사각형 모양의 구멍이 뚫릴 수 있다는 사실을 알 수 있다. 둥근 삼각형에 어떤 비밀이 숨겨져 있길래 이것으로 드릴을 만들면 정사각형 모양의 구멍을 뚫을 수 있는 것일까?

비밀은 둥근 삼각형의 폭에 있다. 이 삼각형은 어느 방향에서 재어도 폭이 일정하다. 이 정폭도형은 회전하면서 뾰족한 부분은 사각형의 꼭지점과, 둥근 부분은 사각형의 네 변과 닿을 수 있기 때문에 사각형 모양의 구멍을 뚫을 수 있게 되는 것이다.

또한, 오각형 모양의 정폭도형으로 드릴을 만들면 육각형 모양의 구멍을 뚫을 수 있다.

일반적으로 이상의 수 에 대해서 정 각형상의 가이드에 넣어 회전시키면 정 각형의 구멍이 뚫린다.

한편, 정폭도형은 원을 대신하여 굴림대로도 사용할 수 있다.

돌이나 통속의 물 등의 무거운 화물을 옮길 때 옛날사람은 노력을 아끼기 위해 여러 그루의 통나무를 굴림대로 해서 그 위에 받침대를 얹고 화물을 옮겼다. 통나무를 굴림대로 했을 때 안정되어 있는 것은 통나무의 단면이 원이기 때문에 통나무가 굴러서 어느 방향이 되어도 지면으로부터 받침대까지의 높이는 언제나 일정하기 때문이다.

굴림대의 단면으로 굳이 원이 아니어도 정폭도형 이기만 하면, 지면으로부터 받침대까지의 높이가 일정하게 유지되므로 안정된다. 물론, 원에 비해 굴릴 때 덜컹거리는 불편함은 있을 것이다.

유제1> 현재 대부분의 맨홀 뚜껑은 원으로 되어 있다. 형태를 다르게 만든다면 어떤 모양이 가능한지 설명해보시오.

유제2> 차나 수레 등 땅 위를 굴러가는 바퀴는 모두 원으로 되어 있다. 그 이유를 설명해보고, 만약 바퀴를 다른 형태로 만든다면 어떤 모양이 가능할 지 설명해보시오.

 

 

 

2) 아리스토텔레스의 바퀴

그리스 시대의 책 『Mechanica』에 아리스토텔레스(Aristoteles)의 것으로 다음과 같은 역설이 실려 있다고 한다. (아리스토텔레스의 것인지 의심스럽다는 주장도 있다.)

아래 그림에서 보듯, 큰 원과 거기에 붙어있는 작은 원을 동시에 굴리면, 둘 다 똑같은 거리를 움직인 게 되어 두 원의 원둘레의 길이가 같아지는 엽기적(?)인 결과가 나온다는 것이 그 내용이다.

Aristotle's Wheel Paradox

물론 말도 안 되는 결과이다. 그런데 왜 이런 이상한 일이 생길까?

착각(?)의 원인은 일대일 대응 때문이다. 오른쪽 그림에서처럼 분명히 두 원 위의 점들이 일대일 대응을 하긴 하지만, 그렇다고 해서 두 원둘레의 길이가 같지는 않다.

"길이가 없는 점이 모여 선이 된다"에서도 얘기했지만, 길이라는 것은 점의 개수(농도)와는 상관이 없다. 다시 말해, 작은 원의 원둘레의 점들과 큰 원 둘레의 점들이 일대일 대응하는 것 때문에 마치 그 둘의 길이까지 같아야 하는 것으로 착각하게 된다는 것이다.

그럼, 작은 원은 도대체 어떻게 움직이는 걸까?

작은 원이 미끄러지며 굴러가기 때문이다! 작은 원은 회전 속도에 비해 진행 속도가 빠르다. 미끄러져 나가기 때문이다. 미끄러진다는 것을 언뜻 납득하기 어려운데 다음의 도형을 보면 보다 쉽게 이해할 수 있다.

그림은 정육각형이 한바퀴 굴러간 모습을 그린 것이다. 그림을 보면 안쪽의 작은 정육각형은 일부 구간을 건너 뛴다는 것을 알 수 있다. 구르지 않고 건너 뛴다! 이같은 현상이 바퀴에서도 벌어진 것이다.

원 위의 한 점이 그리는 자취를 생각해보자. 아래의 그림을 보고 머릿속에서 원을 굴려 보라. 큰 원 위의 한 점이 그리는 자취인 사이클로이드(cycloid)와는 달리, 작은 원 위의 한 점은 미끄러지듯 앞으로 나가면서 매끈한 곡선을 그린다. 하이포트로코이드(hypotrochoid)라고 불리는 이 곡선은 작은 원이 그리게 되는 사이클로이드를 당겨서 늘인 꼴이다.

― 사이클로이드(cycloid) :

― 트로코이드(trochoid) :

트로코이드의 길이와 사이클로이드의 길이가 다름을 눈으로 확인할 수 있는데, 이 길이가 바로 작은 원과 큰 원이 굴러간 거리이다.

*이하생략*