독일의 수학교과서 분석

독일의 수학 교과서에서는 곱하기와 나누기가 혼합되어 다루어지고 있다. 독일의 수학 교과서에서의 나눗셈의 단원 조직 방식을 살펴보면 다음과 같다. [그림] 독일 수학 교과서의 내용 조직 방식 독일 수학교과서 나눗셈 단원의 경우 전체 14쪽의 지면에 11개의 소단원(학습주제)으로 구성되어 있으며 특별한 내용 구성 요소는 없다. 프랑스 수학 교과서 나눗셈 영역에서의 내용 제시 방식과 관련한 특징을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 독일 수학 교과서의 내용 제시 방식은 학생의 심리적 계열 보다는 주로 수학교과의 논리적 계열을 따르고 있다. 각 학습 주제별로 처음 부분에서 관련 숫자 블록이나 그림을 통해 내용을 제시한다. 이때 수의 단위 체계(자리 수 개념)의 논리에 따라 계산하는 법을 제시하고 있다. 즉 수식의 논리적인 전개 과정을 중심으로 소개함으로써 수학 교과의 논리적 특성을 더 강조한다. 둘째, 내용과 관련하여 제시된 사례의 실생활과의 연관성과 관련해서 살펴본다면, 학습 주제를 도입하거 배운 내용을 통해 문제를 제시하는 과정에서 실생활과 관련한 문장제 문제를 많이 제시하고 있는 편이다. 그러나 내용을 설명 하는 과정에서는 실생활과 관련하여 설명되는 경우는 거의 없었다. 제시된 문제의 성격을 보더라도 실생활 사례들은 문제를 제시하기 위한 수단으로 활용되는 경우가 대부분이다. 셋째, 독일의 교과서에서는 학습 주제별로 내용의 설명 방식이 학습 주제별로 다르게 제시되고 있다. 먼저 ‘10, 100, 1000으로 나누기’, ‘10자리 수로 나누기(100, 1000자리 숫자들)’의 경우는 숫자 블록의 제시를 통해 내용을 소개 하고 있으며, 그 다음 단계에서 예시문제를 통해 풀이 방법이나 과정을 박스처리하여 제시하고 있다. 하위의 내용들은 문제 번호로 제시되어 있다. 수식 형태의 문제를 많이 제시하고 있다. ‘10자리 숫자들로 곱하기와 나누기(100자리 숫자들, 1000자리 숫자들)’, ‘물건계산-계산 나무들’, ‘큰 3으로 - 나누기 - 놀이’, ‘나누기’, ‘서면으로 나누기’, ‘나머지를 가지고 서면으로 나누기’, ‘가분성 - 소수’, ‘가격비교-콤마수들 나누기’, ‘복습’ 등의 학습 주제들에서는 관련된 사진이나 그림을 제시하고 그것과 관련된 문제를 풀게 하도록 유도하고 있다. 그러나 숫자 블록이나 그림, 간단한 수식 등으로 제시하고 있으나 풀이과정을 상세하게 안내 및 설명한다든지 충분한 정보를 제공하고 있지 않아 학생들이 지루해 할 수도 있으며, 학생들이 제시된 내용에 대해 관심을 가지고 쉽게 접근할 수 있도록 유도 하는 데에는 한계가 있어 보인다. 넷째, 학습 주제들 간의 관계를 살펴보면 곱하기 → 나누기 → 곱하기와 나누기 → 소수 → 콤마수들 나누기 등의 방식으로 제시되어 병렬식 계열화 방식을 따르고 있다. 다섯째, 내용 제시 방식과 관련한 그 외의 특징들을 살펴보면, 먼저 지면에 비해 많은 수의 문제를 수록하고 있으며, 문장제 문항의 비율이 일본이나 우리나라에 비해 많지만 여전히 수식의 문제가 더 많은 비중을 차지하고 있다. 다음으로 크고 작은 사진이나 삽화가 많이 활용되고 있다는 특징이 있으며 문제 풀이 과정이나 제시된 문제 옆에 위치시켜 학생들에게 문제 풀이를 하는데 도움을 주도록 하고 있다. 다음, ‘큰 3으로 - 나누기 - 놀이’의 경우 우리나라 교과서에 제시된 놀이의 경우와는 달리 특별한 수식의 완성이나 답안작성을 요구하고 있지 않아 학생들이 단순히 놀이를 통해 연산연습을 하도록 유도하고 있었지만 여전히 숫자 계산 위주로 놀이가 진행되게 되어 있어서 치우쳐 학생의 흥미가 감소되는 결과를 초래할 수도 있다는 단점이 있다.

독일의 4학년 수학 교과서의 질문 방식을 나눗셈 단원을 중심으로 분석하면 다음과 같다. 먼저 질문의 목적별로 살펴보면, 첫째, 주로 학습 내용을 ‘이해’하도록 질문을 제시하는 경우가 지배적이라 할 수 있다. 학습 내용을 수많은 질문의 형식으로 제시하고 그에 대한 답을 구하는 과정이 학습 내용 자체가 되도록 구성되었다. 학습 내용의 ‘이해’를 위해 각 페이지의 첫 부분에 그림이나 문장으로 된 질문을 제시하고, 그리고 그림과 질문의 내용에 대한 계산의 과정을 숫자를 이용하여 제시하였다. 설명의 과정은 매우 간략한 편이다. 둘째, 학습 내용의 ‘숙달 및 확인’을 위해 많은 수의 질문을 제시하였다. 학습 내용을 숙달하는 데 충분한 연습의 기회를 제공하고 있는 것으로 분석된다. 셋째, ‘흥미 유발’을 위해 놀이 형태의 활동을 하도록 하는 질문과 만화·그림·도형·박스 등을 이용한 질문들을 곳곳에 배치해 놓았다. 특히 주사위를 던지는 놀이를 통해 나눗셈을 연습하도록 하거나 가족이 일주일간 소비한 것을 적어보도록 하는 경우가 이에 해당한다. 넷째, ‘사고의 확장’을 위한 질문들이 많지는 않았지만 적은 빈도로 제시되었다. 여기에는 문제를 직접 만들어 보도록 요구하는 질문, 여러 단계의 연산과 계산식을 나름대로 도출하도록 하는 질문, 사전에 어림잡아 계산하도록 하는 질문, 일주일·한달·1년의 시간 개념을 요하는 질문 등 사고를 요하는 질문들이 포함된다. 특히 문제를 직접 만들도록 요구하는 질문이 특징적이었다. 그 예는 다음과 같다. ○ 각기 네 가지 과제들을 만들어 보아라. a) 결과는 다섯 자리 수여야 한다. b) 결과는 네 자리 수여야 한다. 10 164 27 972 82 908 47 712 65 268 : 4 7 6 3 위의 질문에서 나타나듯이 독일에서는 곱셈이나 나눗셈을 표시하는 방식과 숫자를 기입하는 방식이 특이하다. 곱셈의 표시는 ‘x'대신 ‘·’으로 표시하며, 나눗셈 표시는 ‘÷’ 대신 ‘:’으로 하며, 숫자를 쓸 때에는 천 단위 마다 약간의 간격을 띄우고 있다(예: 29 000: 100). 그리고 숫자를 사용할 때 알파벳으로 된 약자를 쓰기도 하는데, 만단위는 ZT, 천단위는 T, 백단위는 H, 십단위는 Z, 그리고 일단위는 E로 표시한다. 한편, ‘가족의 음식 소비량’을 계산하는 질문의 경우, 네 명의 가족이 일주일간 소비한 여러 가지 음식의 소비량을 제시하고, 가족이 하루에 소비하는 양, 한 사람이 하루에 소비하는 양, 가족이 일년 간 소비하는 음식양, 그리고 자신의 가족이 소비하는 음식양을 계산하도록 하였다. 이 질문은 학생들의 실생활과 밀접하게 관련되면서도 시간 개념과 나눗셈, 곱셈을 모두 활용하도록 한 점이 특징적이라 할 수 있다. 둘째, 질문의 유형으로는 정형적, 기본 연산, 수식 질문이 주로 활용되었다. 간혹 제시된 비정형적 질문으로는 앞서 제시한 사고 확장의 질문들이 있다. 즉, 문제를 직접 만들도록 하거나 여러 단계의 연산과 계산식을 나름대로 도출하도록 하는 질문, 정확한 시간 개념을 요하는 질문 등이 비정형적 질문에 해당한다. 비기본 연산 질문이나 문장식 질문도 종종 제시되었다. 마지막으로 질문의 양호도를 질문의 명확성, 경험 세계와의 유관성, 질문의 포괄 범위, 적절한 안내·단서·지침 등의 제시 여부 등의 측면에서 살펴본 결과는 다음과 같다. 첫째, 대부분의 경우, 질문의 의미는 명확하였다. 그러나 몇몇의 경우에서는 질문이 명확하지 않아 어떤 문제의식을 가져야 하는지 당황스럽게도 하였다. 예를 들면, 다음과 같다. 하나의 산소호흡기는 1600리터 공기를 가지고 있다. 간단한 일을 할 때 인간은 1분에 20리터 공기를, 힘든 일을 할 때에는 80리터 공기를 필요로 한다. 나는 내 소방용 호수차에 1800m짜리 호스가 더 있어. 우리 펌프는 1분에 400리터를 퍼 올릴 수 있어. 그런데 그게 14분 전부터 작동중이야. 저수통에 240,000리터의 물이 더 있어. 우리 펌프는 1분에 800리터를 나를 수 있는 거야. 위의 질문들은 물론 나눗셈을 연산하도록 요하는 질문이다. 그러나 무엇을 묻는지 분명하게 진술하지 않아 어떤 문제의식을 가지고 연산을 해야 하는지를 결정하는 데 주저하게 할 가능성이 있다. 둘째, ‘경험 세계와의 유관성’은 문장식 질문에서 활용된 소재를 통해 다소 확보된 편으로 부석할 수 있다. 활용된 소재로서는 호스, 산소호흡기, 컴퓨터, 로또, 상자 안의 병, 음료, 가방, 교통 경비, 우유, 백열등, 램프, 가족의 음식 소비량 등이었다. 셋째, 질문의 포괄 범위는 너무 많은 편으로 분석된다. 한 페이지에 담긴 질문의 수가 지나치게 많은데, 100번 이상의 나눗셈 연산을 요하는 페이지도 있다. 이처럼 많은 문항을 한 페이지에 담아 학생들에게 모두 풀도록 하는 방식은 지루함과 따분함을 낳을 수 있다. 넷째, 적절한 안내나 단서, 지침의 제시 여부에 있어서는 그리 친절한 것으로 보기 어려웠다. 앞서 언급되었던 대로 질문의 의미 자체가 모호한 경우도 있었으며, 학습 내용을 풀이하는 과정에 있어서도 각 단계별 연산의 과정을 이해할 수 있도록 돕는 안내가 부족하였다. 다섯째, 사고 유형의 다양성 측면에서는 사고의 다양성보다는 학습내용의 이해와 숙달에 비중을 둔 것으로 분석된다. 단순한 연산의 반복을 요하는 질문들이 많았다. 그러나 숫자를 제시하고 각기 문제를 만들도록 하거나, 먼저 어림짐작해 보고 검산하도록 하거나, 혹은 각각의 문제에서 계산과정을 찾아내도록 하는 질문들은 사고의 다양성에 기여할 수 있는 질문들이라 할 수 있다.

독일 4학년 수학교과서 나눗셈 단원에 나타난 화보의 특성을 주요 기능과 표현 유형 등의 순으로 살펴보면 다음과 같다. 먼저 화보의 기능을 중심으로 살펴보면, 나눗셈 단원의 경우는 교과서 내용의 효율적인 이해를 돕기 위한 보조적 기능의 화보가 비교적 많이 사용되고 있다. 교과서 지면과 대비해 볼 때, 화보의 비중은 대체로 높은 편이다. 화보의 보조적 기능의 경우, 소단원의 도입부마다 글에서 묘사되고 있는 배경이나 상황을 잘 보여주는 그림이나 사진을 배치하여 학습내용의 효율적인 이해를 돕고 있는 것은 매우 특징적이다. 그리고 나눗셈 문제를 수식으로 직접 계산하도록 하는 대신 사각형 도형 묶음(1000, 100, 10, 1)을 제시하여 나눗셈 계산원리를 설명하는 경우, 실생활과 밀접한 소재(산불 진화 현장, 컴퓨터 판매, 야채 가게, 가족의 일주일간 소비량 등)의 그림이나 사진을 제시하여 나눗셈 문제를 해결하도록 하는 경우, 나눗셈 문제 풀이에서 또래 아이들이나 코끼리 그림에 설명 풍선을 제시하여 학생들에게 문제풀이 방식이나 힌트를 제공해주는 경우 등을 들 수 있다. 특히 실생활과 밀접한 화보와 지문을 제시하여 나눗셈의 원리를 배우도록 한 것은 아주 인상적이다. [그림] 독일 초등학교 4학년 수학 교과서 화보의 장식적 기능의 경우, 나눗셈 풀이 과정과 방식을 소개하는 경우는 네모 박스로 처리하여 분명하게 구분시켜 주고 있다. 다음으로 화보의 표현 유형을 살펴보면, 나눗셈 단원의 경우는 실물 사진(산불 진화 장면, 컴퓨터와 그 주변기기, 딸기 쥬스를 담는 장면, 텃새의 부화 장면)을 부분적으로 배치하여 생생한 느낌을 주고 있다. 설명 풍선과 같은 만화 형식을 배치하여 힌트나 대화 내용을 표시하는 경우가 매우 많은 편이다. 화보의 크기는 작은 크기에서 한 지면 전체 크기에 이르기까지 매우 다양하게 구성되어 있다. [그림] 독일 초등학교 4학년 수학 교과서